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夢追い人

"It takes a dreamer to make a dream come true."―Vincent Willem van Gogh

テスト勉強

勉強

Block Trefoil

お久しぶりです。随分長いこと書いてなくて、そういえば報告していませんでしたが東京大学理学部情報科学科に内定しました。今度のテストを乗り切れば晴れて正真正銘のISersです。

ついでですので一応宣伝しておくと、内定してからの専門科目で16進数の九九を覚えろ的な冗談(?)を言った先生がいまして、それを実際にゲームにしちゃえーと最近学科とかで地味にブームになってるiOS/Androidアプリがあります。ぜひダウンロードして東大生と計算力を競ってみてください(≧∇≦)b

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さて、そんなことはさておき、テストです。

数学科の授業もとってしまって(選択として必要な単位ではあるのですが...)かなり苦戦しているので、とにかくいろんなアウトプットの形を試しているのですがしばらく書いてませんでしたし、ここにアウトプットするのもいいかなと思って今回はここにまとめてみたいと思います。

距離空間

距離

 d(x,y)が以下の三つの条件を満たすとこれを距離と言う。

  • 正定値性
  • 対称性
  • 三角不等式

まず正定値性 \forall x, y\in Xに対して d(x,y)\geq 0であり d(x,y)=0 x=yのときのみ成り立つというもの。次の対称性とは d(x,y)=d(y,x)が常に成り立つというもの。そして三角不等式 \forall x, y ,z\in Xに対して d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)が成り立つというもの。どれも基本的ではあるがこれが距離の公理となっている。そしてこの距離が与えられた集合を距離空間という。

点列コンパクト

点列コンパクト Xに含まれる任意の点列 \{x_n\}についてその部分列の中に収束部分列 \{x'_n\}が存在することをいう。これは距離空間においてのみ後述のコンパクトと同義になる。

コーシー列

コーシー列とは十分大きい Nに対して任意の \epsilon > 0について n,m\geq Nをどのようにとっても d(x_n, x_m)<\epsilonがなりたつような列のことを言う。(今は点列で考えている)
そして任意のコーシー列が Xの中に極限をもつとき、 X完備であるという。

開集合・閉集合

まず距離空間 X x\in X \epsilon > 0に対し B_{\epsilon}(x)=\{y\in X \mid d(x,y) < \epsilon \}と定義する。(開球体とよばれる。)
この時 O\subset X開集合とは \forall x \in O\ \exists \epsilon>0 s.t.  B_{\epsilon}(x)\subset Oが成り立つことを言う。
一方、閉集合は補集合が開集合であることが一般に必要十分条件となる。

閉包・稠密

 A\subset Xとする。
 \overline{A}=\{x\in X\mid \forall\epsilon > 0,B_{\epsilon}(x)\cap A\neq \phi\} A閉包という。
また \overline{A}=Xを満たす時 A Xの中で稠密であるという。

近傍

 x\in Xの近傍とは X xを含む開集合 Uを含むような V\subset Xのこと。

位相空間

位相

開集合で特徴づけるとある集合があってその冪集合の部分集合のうち

  • 空集合と全体集合が開集合
  • 有限な開集合の共通部分も開集合
  • 任意の個数の開集合の和集合は開集合

をみたす開集合系のこと。もとの集合とあわせて位相空間と呼ぶ。

直積位相

集合族 \{ X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}に対し X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}とした時直積集合 \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}=\{ f:\Lambda\rightarrow X\mid f(\lambda)\in X_{\lambda} \}であるが、とくに X_{\lambda}=X(\forall\lambda\in\Lambda )である時これを Map(\Lambda ,X)=X^{\Lambda}と書く。各 \mu\in\Lambdaに対し射影 \pi_{\mu}:\prod_{\lambda}X_{\lambda}\rightarrow X_{\mu} \pi_{\mu}(f)=f(\mu ), f\in \prod_{\lambda}X_{\lambda}により定義される。
さて、今 \{ X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}位相空間の族とした時上の射影の引き戻しで構成した \{\pi_{\mu}^{-1}(O_{\mu})\mid \mu\in\Lambda ,O_{\mu}X_{\mu}の開集合\}という \prod_{\lambda}X_{\lambda}の位相を直積位相と呼ぶ。

相対位相

集合 xの位相 \tauがあるとき S(\in X)相対位相とは
 \tau_S \{S\cap U\mid U\in\tau\}
のことを言う。

強位相・弱位相

二つの位相があり、片方が片方の真の部分集合となっている時、部分集合のほうを弱い位相、もう一方を強い位相と呼ぶ。

 V^{*}\subset \mathbb{R}^{V}であるとき \mathbb{R}^{V}に直積位相を入れ、 V^{*}に相対位相を入れる。これを V^{*}の弱*位相と呼ぶ。
 Vをノルム空間とすると、 V^{*}の生成する位相を V弱位相と呼び、 Vのノルムから決まる位相を強位相と呼ぶ。強い弱いを便宜上大小記号であらわすとすると弱*位相 \leq弱位相 \leq強位相となる。

コンパクト性

コンパクト性に関してはコンパクト性、開被覆 - 大人になってからの再学習がかなりわかりやすい。距離空間では同値であると言ったが一般的には違う概念となる。

内部・閉包

距離空間でも出てきたが一般的な内部と閉包の定義は次の通り( (X,O)位相空間とし、 A \subset Xとする。また U(x) xの近傍系)

 \overline{A} = \{x \mid \forall U\in U(x),\ U\cap A\neq \phi\}
 A^{i} = \{x\mid\exists U\in U(x),\ U\subset A\}

一つ目が閉包でこれはその部分集合を含む最小の閉集合となる。
一方内部は集合の縁以外のすべての要素の集まりが直感的な説明になる。

基本近傍系

近傍系の部分集合のうち、その元が任意の近傍に含まれるようなもののこと。

開基(または基底とも)

位相空間 Xの部分集合族 B Xの位相 Oに属する任意の開集合が b_i \subseteq Bの合併で表せるもののこと。

第一可算公理

 Xの各点 xが高々可算な近傍からなる基本近傍系を持つこと。

第二可算公理

その位相が可算な開基を持つということ。

随時更新したいと思います。

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