お久しぶりです。随分長いこと書いてなくて、そういえば報告していませんでしたが東京大学理学部情報科学科に内定しました。今度のテストを乗り切れば晴れて正真正銘のISersです。
ついでですので一応宣伝しておくと、内定してからの専門科目で16進数の九九を覚えろ的な冗談(?)を言った先生がいまして、それを実際にゲームにしちゃえーと最近学科とかで地味にブームになってるiOS/Androidアプリがあります。ぜひダウンロードして東大生と計算力を競ってみてください(≧∇≦)b
play.google.comさて、そんなことはさておき、テストです。
数学科の授業もとってしまって(選択として必要な単位ではあるのですが...)かなり苦戦しているので、とにかくいろんなアウトプットの形を試しているのですがしばらく書いてませんでしたし、ここにアウトプットするのもいいかなと思って今回はここにまとめてみたいと思います。
距離空間
距離
が以下の三つの条件を満たすとこれを距離と言う。
- 正定値性
- 対称性
- 三角不等式
まず正定値性はに対してでありはのときのみ成り立つというもの。次の対称性とはが常に成り立つというもの。そして三角不等式はに対してが成り立つというもの。どれも基本的ではあるがこれが距離の公理となっている。そしてこの距離が与えられた集合を距離空間という。
点列コンパクト
点列コンパクトはに含まれる任意の点列についてその部分列の中に収束部分列が存在することをいう。これは距離空間においてのみ後述のコンパクトと同義になる。
コーシー列
コーシー列とは十分大きいに対して任意のについてをどのようにとってもがなりたつような列のことを言う。(今は点列で考えている)
そして任意のコーシー列がの中に極限をもつとき、を完備であるという。
閉包・稠密
とする。
をの閉包という。
またを満たす時はの中で稠密であるという。
近傍
の近傍とはでを含む開集合を含むようなのこと。
位相空間
位相
開集合で特徴づけるとある集合があってその冪集合の部分集合のうち
- 空集合と全体集合が開集合
- 有限な開集合の共通部分も開集合
- 任意の個数の開集合の和集合は開集合
をみたす開集合系のこと。もとの集合とあわせて位相空間と呼ぶ。
直積位相
集合族に対しとした時直積集合はであるが、とくにである時これをと書く。各に対し射影がにより定義される。
さて、今を位相空間の族とした時上の射影の引き戻しで構成したはの開集合というの位相を直積位相と呼ぶ。
相対位相
集合の位相があるときの相対位相とは
のことを言う。
強位相・弱位相
二つの位相があり、片方が片方の真の部分集合となっている時、部分集合のほうを弱い位相、もう一方を強い位相と呼ぶ。
であるときに直積位相を入れ、に相対位相を入れる。これをの弱*位相と呼ぶ。
をノルム空間とすると、の生成する位相をの弱位相と呼び、のノルムから決まる位相を強位相と呼ぶ。強い弱いを便宜上大小記号であらわすとすると弱*位相弱位相強位相となる。
コンパクト性
コンパクト性に関してはコンパクト性、開被覆 - 大人になってからの再学習がかなりわかりやすい。距離空間では同値であると言ったが一般的には違う概念となる。
内部・閉包
距離空間でも出てきたが一般的な内部と閉包の定義は次の通り(を位相空間とし、とする。またはの近傍系)
一つ目が閉包でこれはその部分集合を含む最小の閉集合となる。
一方内部は集合の縁以外のすべての要素の集まりが直感的な説明になる。
基本近傍系
近傍系の部分集合のうち、その元が任意の近傍に含まれるようなもののこと。
開基(または基底とも)
位相空間の部分集合族での位相に属する任意の開集合がの合併で表せるもののこと。
第一可算公理
の各点が高々可算な近傍からなる基本近傍系を持つこと。
第二可算公理
その位相が可算な開基を持つということ。
随時更新したいと思います。